正文卷 第256章 扩展欧几里得算法，以及增强线段树
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“七八点钟？足够了。”熊磊率先表示赞同。
朱达昌也点了点头，又说：“玩的太晚，两位老师也会不放心。”
江寒笑问：“你们下午都这么有时间……今天不往回走了吗？”
朱达昌回答：“高老师预定了火车卧铺，是夜里10点发车。”
李山河点了点头，说：“要等8、9个小时的车，这么长时间，不玩点什么也太无聊了。”
熊磊解释说：“我爸爸的车实在不能凑合了，准备买台全新的高尔夫6，明天就去4s店提车，所以只能晚一天回去。”
江寒了然一笑，熊爸爸那辆二手车，动不动就趴窝，的确早该换换了。
想了想，对李山河、朱达昌说：“我不一定能送你们上车，今晚我可能就得往回走了。”
“这么急吗？好不容易来一趟松江，不好好玩一玩？”李山河问。
江寒坦然点头，说：“我是坐方便车来的，别人什么时候往回走，我就什么时候跟回去，总不能让别人将就我吧？”
其实要什么时候回去，还不是他一句话的事？
但夏雨菲明天有课……
“诶？如果唱k的话，能不能让夏雨菲同学也来呀？”朱达昌突发奇想。
“就是的，江寒，你和夏雨菲好像熟悉的，帮忙邀请一下呗。”李山河也力促。
江寒一阵无语。
别说，还真可以考虑一下。
小媳妇这次出来，光跟着自己跑前跑后了，也没玩好……
也不知道她有没有意愿出来散散心？
江寒想了想，没把话说死：“好吧，比完赛我打电话问一声，能不能约出来，我可不敢保证哦。”
听了江寒的话，其他人都十分期待，毕竟夏雨菲不光长得好看，在学校里也是有名的唱歌好听。
但其实，江寒已经决定，顺便也叫苗清澜和关浩一声，愿意来的话，就一起闹闹。
而且，出门在外的，指导教师们也不可能彻底放手，肯定都会跟着。
这样的话，就不太好去一些环境太复杂的场所了……
时间将到8点，赛场封锁就被解除，选手们再次鱼贯入场。
其他流程和昨天大同小异。
比赛正式开始。
江寒拿到题之后，习惯地全部浏览了一遍，然后从头开始做。
今天的三道题，难度比day1高多了。
但说实话，并没有超过他的预计，都属于那种稍微花点心思就能解决的类型。
第一题是同余方程。
【问题描述】：求关于x的同余方程ax≡1的最小正整数解。
输入数据是两个正整数a和b，要求输出方程的最小正整数解x0。
比如：输入3和10，输出就是7。
数据范围：
对于40%的数据，2≤b≤1000；
对于60%的数据，2≤b≤50000000；
对于100%的数据，2≤a≤2000000000，2≤b≤2000000000；
输入的数据保证一定有解。
江寒一打眼就看出来了，这是一道数论题。
只要明白同余方程是怎么回事，就很容易理清思路。
，即ax的乘积除以b，余数为1。
所以，对于任意给定的a、b，可以用穷举法暴力搜索，开始，每次递增1，很容易就能找出一个最小的x，使得方程成立。
但因为a、b的取值范围特别巨大，这样做，会导致至少limitexceeded，即时间超限）。
要想得到全部分数，必须想办法缩减运算时间。
如果能找到这个算式中隐藏的规律，问题自然迎刃而解。
当然，这需要拥有一点数论功底，才能办得到。
江寒先观察了一下方程。
原式等价于ax-，因为k值可以为负数，所以又可以看做ax+。
显而易见，a与b一定互质，所以原式可转化为，这里gcd表示两个整数的最大公约数……
咦？
这不就是扩展欧几里得的标准形式吗？
这样就简单了啊！
欧几里得算法也叫辗转相除法，用于求最大公约数，属于小学奥数常见内容。
有个基本质：gcd=gcd。
而扩展欧几里德算法，则用来已知a，b，求解方程的解。
根据数论中的相关定理，解是一定存在的。
所以，这道题只要用上扩展欧几里德算法，就能很轻松找到一组，使得等式成立。
接下来，江寒根据算法，只花了五分钟，就编写出了对应的代码。
其中的递归函数exgcd，就是扩展欧几里德算法的一种实现。
用上了这种方法之后，编程难度大大降低，一共只用了10来行代码，就完成了解答。
然后一调试……
江寒就无语地发现，求解出来的x0，居然有时候会出现负值。
这就不符合题意了。
那么……为什么会产生这种况呢？
江寒想了想，拿过一张草稿纸，简单地推理了一下。
在数学上，等价于ax%，又等价于ax+。
当用扩展欧几里德算法，求出它的一组解时，可得ax0+。
那么只要在方程左边加上一个kab，再减去一个kab，合并同类项可得：
)+b=1。
就是方程的通解，k可以为负数、0、或正数。
这里我们只关心x的取值，于是接下来，只要求出等于的最小正整数，就可以了。
为什么给x0加上一个kb，而不是某个比b小的数与k的乘积？
很简单，如果那么做，就找不到能使等式成立的y了……
因为x0有可能为负数，所以要分两种况讨论。
当x0大于0时，显而易见，x0%b也大于0，所以最小的正整数x就是x0%b本。
而当x0≤0时，x0%b也必然≤0，因为|x0%b|必定小于b，所以只需要在x0%b的结果上，再加上一个b，就可以得到最小的正整数解了。
推演到这里，结论就很明确了。
江寒马上将代码稍加修改，再次一调试，这次就顺利通过了。
啧，出题的人险的嘛。
如果生搬硬扩展欧氏算法，没准一不小心就会掉进坑里去……
虽然这么一个小坑，应该也困不住太多人就是了。
第一题搞定之后，江寒就开始思考下一道题。
第二题：借教室。
【问题描述】：……
这道题和day1的第三题差不多，都是那种表述啰嗦得要死，但只要看明白题意，就会觉得异常简单的题型。
江寒直觉可以用线段树来弄。
事实上，应该也是行得通的。
但一般说来，线段树中的pushdon常数。
标记的删除非常方便，要把一个区间改回去，只需要把最外层的几个小区间标记置0就行。
这么一改进，就能大大减少运算量，从而有很大的机会通过全部数据了。
江寒写完增强线段树算法，又编写了一段测试代码，用各种极限值去测试。
结果非常喜人，在100%的数据输入区间，都能轻松在1秒内得到答案。
第二题就此搞定。
时间到此才过去1个小时20分钟，还剩下两个多小时。
那么，接下来就一鼓作气，搞定最后一题。说说520小说阅读_www.shuoshuo520.cc
朱达昌也点了点头，又说：“玩的太晚，两位老师也会不放心。”
江寒笑问：“你们下午都这么有时间……今天不往回走了吗？”
朱达昌回答：“高老师预定了火车卧铺，是夜里10点发车。”
李山河点了点头，说：“要等8、9个小时的车，这么长时间，不玩点什么也太无聊了。”
熊磊解释说：“我爸爸的车实在不能凑合了，准备买台全新的高尔夫6，明天就去4s店提车，所以只能晚一天回去。”
江寒了然一笑，熊爸爸那辆二手车，动不动就趴窝，的确早该换换了。
想了想，对李山河、朱达昌说：“我不一定能送你们上车，今晚我可能就得往回走了。”
“这么急吗？好不容易来一趟松江，不好好玩一玩？”李山河问。
江寒坦然点头，说：“我是坐方便车来的，别人什么时候往回走，我就什么时候跟回去，总不能让别人将就我吧？”
其实要什么时候回去，还不是他一句话的事？
但夏雨菲明天有课……
“诶？如果唱k的话，能不能让夏雨菲同学也来呀？”朱达昌突发奇想。
“就是的，江寒，你和夏雨菲好像熟悉的，帮忙邀请一下呗。”李山河也力促。
江寒一阵无语。
别说，还真可以考虑一下。
小媳妇这次出来，光跟着自己跑前跑后了，也没玩好……
也不知道她有没有意愿出来散散心？
江寒想了想，没把话说死：“好吧，比完赛我打电话问一声，能不能约出来，我可不敢保证哦。”
听了江寒的话，其他人都十分期待，毕竟夏雨菲不光长得好看，在学校里也是有名的唱歌好听。
但其实，江寒已经决定，顺便也叫苗清澜和关浩一声，愿意来的话，就一起闹闹。
而且，出门在外的，指导教师们也不可能彻底放手，肯定都会跟着。
这样的话，就不太好去一些环境太复杂的场所了……
时间将到8点，赛场封锁就被解除，选手们再次鱼贯入场。
其他流程和昨天大同小异。
比赛正式开始。
江寒拿到题之后，习惯地全部浏览了一遍，然后从头开始做。
今天的三道题，难度比day1高多了。
但说实话，并没有超过他的预计，都属于那种稍微花点心思就能解决的类型。
第一题是同余方程。
【问题描述】：求关于x的同余方程ax≡1的最小正整数解。
输入数据是两个正整数a和b，要求输出方程的最小正整数解x0。
比如：输入3和10，输出就是7。
数据范围：
对于40%的数据，2≤b≤1000；
对于60%的数据，2≤b≤50000000；
对于100%的数据，2≤a≤2000000000，2≤b≤2000000000；
输入的数据保证一定有解。
江寒一打眼就看出来了，这是一道数论题。
只要明白同余方程是怎么回事，就很容易理清思路。
，即ax的乘积除以b，余数为1。
所以，对于任意给定的a、b，可以用穷举法暴力搜索，开始，每次递增1，很容易就能找出一个最小的x，使得方程成立。
但因为a、b的取值范围特别巨大，这样做，会导致至少limitexceeded，即时间超限）。
要想得到全部分数，必须想办法缩减运算时间。
如果能找到这个算式中隐藏的规律，问题自然迎刃而解。
当然，这需要拥有一点数论功底，才能办得到。
江寒先观察了一下方程。
原式等价于ax-，因为k值可以为负数，所以又可以看做ax+。
显而易见，a与b一定互质，所以原式可转化为，这里gcd表示两个整数的最大公约数……
咦？
这不就是扩展欧几里得的标准形式吗？
这样就简单了啊！
欧几里得算法也叫辗转相除法，用于求最大公约数，属于小学奥数常见内容。
有个基本质：gcd=gcd。
而扩展欧几里德算法，则用来已知a，b，求解方程的解。
根据数论中的相关定理，解是一定存在的。
所以，这道题只要用上扩展欧几里德算法，就能很轻松找到一组，使得等式成立。
接下来，江寒根据算法，只花了五分钟，就编写出了对应的代码。
其中的递归函数exgcd，就是扩展欧几里德算法的一种实现。
用上了这种方法之后，编程难度大大降低，一共只用了10来行代码，就完成了解答。
然后一调试……
江寒就无语地发现，求解出来的x0，居然有时候会出现负值。
这就不符合题意了。
那么……为什么会产生这种况呢？
江寒想了想，拿过一张草稿纸，简单地推理了一下。
在数学上，等价于ax%，又等价于ax+。
当用扩展欧几里德算法，求出它的一组解时，可得ax0+。
那么只要在方程左边加上一个kab，再减去一个kab，合并同类项可得：
)+b=1。
就是方程的通解，k可以为负数、0、或正数。
这里我们只关心x的取值，于是接下来，只要求出等于的最小正整数，就可以了。
为什么给x0加上一个kb，而不是某个比b小的数与k的乘积？
很简单，如果那么做，就找不到能使等式成立的y了……
因为x0有可能为负数，所以要分两种况讨论。
当x0大于0时，显而易见，x0%b也大于0，所以最小的正整数x就是x0%b本。
而当x0≤0时，x0%b也必然≤0，因为|x0%b|必定小于b，所以只需要在x0%b的结果上，再加上一个b，就可以得到最小的正整数解了。
推演到这里，结论就很明确了。
江寒马上将代码稍加修改，再次一调试，这次就顺利通过了。
啧，出题的人险的嘛。
如果生搬硬扩展欧氏算法，没准一不小心就会掉进坑里去……
虽然这么一个小坑，应该也困不住太多人就是了。
第一题搞定之后，江寒就开始思考下一道题。
第二题：借教室。
【问题描述】：……
这道题和day1的第三题差不多，都是那种表述啰嗦得要死，但只要看明白题意，就会觉得异常简单的题型。
江寒直觉可以用线段树来弄。
事实上，应该也是行得通的。
但一般说来，线段树中的pushdon常数。
标记的删除非常方便，要把一个区间改回去，只需要把最外层的几个小区间标记置0就行。
这么一改进，就能大大减少运算量，从而有很大的机会通过全部数据了。
江寒写完增强线段树算法，又编写了一段测试代码，用各种极限值去测试。
结果非常喜人，在100%的数据输入区间，都能轻松在1秒内得到答案。
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时间到此才过去1个小时20分钟，还剩下两个多小时。
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